Question

9．已知函數(shù)$f（x）=\frac{ax+b}{{1+{x^2}}}$為奇函數(shù)，且定義域為（-1，1），$f（\frac{1}{2}）=\frac{2}{5}$，求f（x）的解析式．

Answer 1

分析 由函數(shù)f（x）是定義在（-1，1）上的奇函數(shù)，所以f（0）=0，再據(jù)$f（\frac{1}{2}）=\frac{2}{5}$可求出a的值，即可求f（x）的解析式．

解答 解：∵函數(shù)$f（x）=\frac{ax+b}{{1+{x^2}}}$是定義域為（-1，1）上的奇函數(shù)，
∴f（0）=0，∴b=0；
又$f（\frac{1}{2}）=\frac{2}{5}$，∴$\frac{\frac{1}{2}a}{1+\frac{1}{4}}$=$\frac{2}{5}$
∴a=1．
∴f（x）=$\frac{x}{1+{x}^{2}}$．

點評 本題考查了函數(shù)的奇偶性，充分理解以上性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．利用已證結(jié)論解決問題是常用的方法，注意體會和使用．