Question

過橢圓

x2

4

+

y2

3

=1的右焦點的直線l與橢圓交于A，B兩點，若弦AB中點為M(

4

7

，-

3

7

)，則|AB|=

24

7

．

Answer 1

分析：由橢圓

x2

4

+

y2

3

=1的右焦點F（1，0），弦AB中點為M(

4

7

，-

3

7

)，能夠導出AB的斜率k=1，故直線AB的方程為x-y-1=0．由此能求出|AB|．

解答：解：∵橢圓

x2

4

+

y2

3

=1的右焦點F（1，0），弦AB中點為M(

4

7

，-

3

7

)，
∴AB的斜率k=

0+ 3 7

1- 4 7

=1，
∴直線AB的方程：y+

3

7

=x-

4

7

，整理，得x-y-1=0．
把x-y-1=0代入橢圓

x2

4

+

y2

3

=1，并整理，得7x²-8x-8=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x1+x2=

8

7

，x1x2=-

8

7

，
∴|AB|=

(1+12)[( 8 7 )2-4×(- 8 7 )]

=

24

7

．
故答案為：

24

7

．

點評：本題考查直線與橢圓的位置關系的應用，考查直線方程的求法，考查弦長公式的應用，解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化．