Question

10．設a＞0，b＞0，且a+b=$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$．證明：
（1）設$M=\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}$，$N=\frac{a}{a+1}+\frac{b+1}$，求證M=N
（2）a²+a＜2與b²+b＜2不可能同時成立．

Answer 1

分析 （1）利用已知條件求出ab=1，然后利用1的代換，化簡N推出等于M即可．
（2）利用反證法，假設a²+a＜2與b²+b＜2同時成立，推出ab＜1，這與ab=1矛盾，說明不等式成立．

解答 證明：（1）由a+b=$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$=$\frac{a+b}{ab}$，a＞0，b＞0，得ab=1．
$N=\frac{a}{a+1}+\frac{b+1}$=$\frac{a}{a+ab}+\frac{b+ab}$=$\frac{1}{b+1}+\frac{1}{a+1}$=M
  所以得證M=N…（5分）
（2）假設a²+a＜2與b²+b＜2同時成立，
則由a²+a＜2及a＞0得0＜a＜1；
同理，0＜b＜1，從而ab＜1，這與ab=1矛盾．
故a²+a＜2與b²+b＜2不可能同時成立…（10分）

點評 本題考查等式以及不等式的證明，反證法的應用，考查轉化思想以及計算能力．