Question

(本小題滿分14分)  設(shè)函數(shù).

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極大值點(diǎn)；

（Ⅱ）已知，若函數(shù)的圖象總在直線的下方，求的取值范圍；

（Ⅲ）記為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)．若，試問(wèn)：在區(qū)間上是否存在（）個(gè)正數(shù)…，使得成立？請(qǐng)證明你的結(jié)論.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為，極大值點(diǎn)

（Ⅱ）.

（Ⅲ）在區(qū)間上不存在使得成立的（）個(gè)正數(shù)….

【解析】（1）當(dāng)時(shí)，求出的導(dǎo)函數(shù)，令，列表研究其單調(diào)性和極值；

（2）只要求出的最大值小于即可，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，研究單調(diào)性可得到的最大值就是其極大值，解不等式得的取值范圍；

（3）時(shí)，，，要研究的單調(diào)性，記，其中.，即在上為增函數(shù).又，所以，對(duì)任意的，總有，

.。故不存在。

解：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，，

令得到，列表如下：

	＋	０	－
		極大值

所以的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為

極大值點(diǎn)

（Ⅱ），，.

      令，則.

       當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.

      故為函數(shù)的唯一極大值點(diǎn)，

所以的最大值為=.

由題意有，解得.

     所以的取值范圍為.

（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，.     記，其中.

∵當(dāng)時(shí)，，∴在上為增函數(shù)，

即在上為增函數(shù).又，

所以，對(duì)任意的，總有.

所以，

又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070912115535883426/SYS201207091212471870575967_DA.files/image007.png">，所以.

故在區(qū)間上不存在使得成立的（）個(gè)正數(shù)….