Question

7．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的離心率為2，焦點(diǎn)與橢圓$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1的焦點(diǎn)相同，那么雙曲線的漸近線方程為y=±$\sqrt{3}$x．

Answer 1

分析 根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求出c，利用雙曲線的離心率建立方程求出a，b，即可求出雙曲線的漸近線方程．

解答 解：∵橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1，
∴橢圓中的a₁=5，b₁=3，則c=4，
∵雙曲線的焦點(diǎn)與橢圓$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1的焦點(diǎn)相同，
∴雙曲線中c=4，
∵雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的離心率為2，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{4}{a}$=2，則a=2．
在雙曲線中b=$\sqrt{{c}^{2}-{a}^{2}}$=$\sqrt{16-4}$=$\sqrt{12}$=2$\sqrt{3}$，
則雙曲線的漸近線方程為y=±$\frac{a}$x=±$\frac{2\sqrt{3}}{2}$x=±$\sqrt{3}$x，
故答案為：y=±$\sqrt{3}$x．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查雙曲線漸近線的求解，根據(jù)橢圓和雙曲線的關(guān)系建立方程求出a，b，c是解決本題的關(guān)鍵．