Question

定義在R上的偶函數(shù)y=f（x），滿(mǎn)足f（x+1）=-f（x），且在[-3，-2]上是減函數(shù)，若α，β是銳角三角形的兩個(gè)內(nèi)角，則（ ）
A．f（sinα）＞f（sinβ）
B．f（cosα）＞f（cosβ）
C．f（sinα）＜f（cosβ）
D．f（sinα）＞f（cosβ）

Answer 1

【答案】分析：由條件f（x+1）=-f（x），得到f（x）是周期為2的周期函數(shù)，由f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，在[-3，-2]上是減函數(shù)，
得到f（x）在[2，3]上是增函數(shù)，在[0，1]上是增函數(shù)，再由α，β是銳角三角形的兩個(gè)內(nèi)角，得到α＞90°-β，
且sinα、cosβ都在區(qū)間[0，1]上，從而得到f（sinα）＞f（cosβ）．
解答：解：∵f（x+1）=-f（x），∴f（x+2）=-f（x+1）=f（x），f（x）是周期為2的周期函數(shù)．
∵y=f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，∴f（-x）=f（x），∵f（x）在[-3，-2]上是減函數(shù)，
∴在[2，3]上是增函數(shù)，∴在[0，1]上是增函數(shù)，∵α，β是銳角三角形的兩個(gè)內(nèi)角．
∴α+β＞90°，α＞90°-β，兩邊同取正弦得：sinα＞sin（90°-β）=cosβ，且sinα、cosβ都在區(qū)間[0，1]上，
∴f（sinα）＞f（cosβ），故答案選 D．
點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、周期性．