Question

5．從1，2，3，…，n中這n個(gè)數(shù)中取m （m，n∈N^*，3≤m≤n）個(gè)數(shù)組成遞增等差數(shù)列，所有可能的遞增等差數(shù)列的個(gè)數(shù)記為f（n，m），則f（30，5）等于98．

Answer 1

分析 設(shè)滿足條件的一個(gè)等差數(shù)列首項(xiàng)為a₁，公差為d，d∈N^*．確定d的可能取值為1，2，3，…，7，運(yùn)用等差數(shù)列的求和公式，即可求f（30，5）．

解答 解：設(shè)滿足條件的一個(gè)等差數(shù)列首項(xiàng)為a₁，公差為d，d∈N^*．
∵a₅=a₁+4d，
∴d=$\frac{{a}_{5}-{a}_{1}}{4}$≤$\frac{30-1}{4}$，
∴d的可能取值為1，2，3，…，7．
對(duì)于給定的d，a₁=a₅-4d≤30-4d，當(dāng)a₁分別取1，2，3，…，30-4d時(shí)，
可得遞增等差數(shù)列30-4d個(gè)（如：d=1時(shí)，a₁≤26，當(dāng)a₁分別取1，2，3，…，26時(shí)，
可得遞增等差數(shù)列26個(gè)：1，2，3，4，5；2，3，…，6；…；26，27，…，30，其它同理）．
∴當(dāng)d取1，2，3，…，7時(shí)，可得符合要求的等差數(shù)列的個(gè)數(shù)為：
f（30，5）=26+22+…+2=$\frac{1}{2}$×（2+26）×7=98．
故答案為：98．

點(diǎn)評(píng) 本題考查新定義，考查數(shù)列知識(shí)的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，正確理解新定義是關(guān)鍵，屬于中檔題．