Question

已知定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（x）=

x2+3，(x∈[0，1)) 3-x2，(x∈[-1，0))

，且f（x+2）=f（x），g(x)=

3x+7

x+2

，則方程g（x）=f（x）在區(qū)間[-8，3]上的所有實數(shù)根之和為（　�。�

• A、0
• B、-10
• C、-11
• D、-12

Answer 1

考點：分段函數(shù)的應(yīng)用

專題：數(shù)形結(jié)合,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：將方程根的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點問題，將函數(shù)式化簡，根據(jù)圖象的對稱性，由圖象觀察即可．

解答： 解：∵f（x）=

x2+3，(x∈[0，1)) 3-x2，(x∈[-1，0))

，且f（x+2）=f（x），
∴f（x-2）-3=

x2，x-2∈[0，1) -x2，x-2∈[-1，0)

又g（x）=

3x+7

x+2

，則g（x）=3+

1

x+2

，
∴g（x-2）-3=

1

x

，
上述兩個函數(shù)都是關(guān)于（-2，3）對稱，
由圖象可得：y=f（x）和y=g（x）的圖象在區(qū)間[-8，3]上有6個交點，
它們都關(guān)于點（-2，3）對稱，故之和為-2×6=-12．
但由于（-1，4）取不到，故之和為-12+1=-11．
即方程f（x）=g（x）在區(qū)間[-8，3]上的實根有5個，
故方程f（x）=g（x）在區(qū)間[-8，3]上的所有實根之和為-11．
故選C．

點評：本題考查函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系以及數(shù)形結(jié)合的思想，數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)解題中常用的思想方法，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)．