Question

19．解方程ax²-（a²+2）x+2a≤0．

Answer 1

分析 根據題意，討論a=0，a＞0與a＜0時，對應不等式的解集是什么，求出不等式的解集即可．

解答 解：不等式ax²-（a²+2）x+2a≤0可化為（ax-2）（x-a）≤0，
當a=0時，不等式化為-2x≤0，它的解集為{x|x≥0}；
當a＞0時，不等式化為（x-$\frac{2}{a}$）（x-a）≤0，
若a=$\sqrt{2}$，則$\frac{2}{a}$=a，不等式化為${（x-\sqrt{2}）}^{2}$≤0，其解集為{x|x=$\sqrt{2}$}；
若0＜a＜$\sqrt{2}$，則$\frac{2}{a}$＞a，不等式的解集為{x|a≤x≤$\frac{2}{a}$}；
若a＞$\sqrt{2}$，則$\frac{2}{a}$＜a，不等式的解集為{x|$\frac{2}{a}$≤x≤a}；
當a＜0時，原不等式化為（x-$\frac{2}{a}$）（x-a）≥0，
若a=-$\sqrt{2}$，則$\frac{2}{a}$=a，不等式化為${（x+\sqrt{2}）}^{2}$≥0，其解集為R；
若-$\sqrt{2}$＜a＜0，則$\frac{2}{a}$＜a，不等式的解集為{x|x≤$\frac{2}{a}$或x≥a}；
若x＜-$\sqrt{2}$，則$\frac{2}{a}$＞a，不等式的解集為{x|x≤a或x≥$\frac{2}{a}$}；
綜上，a=0時，不等式的解集為{x|x≥0}；
a=$\sqrt{2}$時，不等式的解集為{x|x=$\sqrt{2}$}；
0＜a＜$\sqrt{2}$時，不等式的解集為{x|a≤x≤$\frac{2}{a}$}；
a＞$\sqrt{2}$時，不等式的解集為{x|$\frac{2}{a}$≤x≤a}；
a=-$\sqrt{2}$時，不等式的解集為R；
-$\sqrt{2}$＜a＜0時，不等式的解集為{x|x≤$\frac{2}{a}$或x≥a}；
x＜-$\sqrt{2}$時，不等式的解集為{x|x≤a或x≥$\frac{2}{a}$}．

點評 本題考查了含有字母系數的不等式的解法與應用問題，也考查了分類討論思想的應用問題，是綜合性題目．