Question

設(shè)等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，公比是正數(shù)的等比數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，已知a₁=1，b₁=3，a₂+b₂=8，T₃-S₃=15
（Ⅰ）求{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若數(shù)列{c_n}滿足a1cn+a2cn-1+…+an-1c2=2n+1-n-2對任意n∈N^*都成立；求證：數(shù)列{c_n}是等比數(shù)列．

Answer 1

（Ⅰ）設(shè)數(shù)列{a_n}的公差為d，數(shù)列{b_n}的公比為q（q＞0）
由題意得

d+3q=7 q+q2-d=5

 解得

d=1 q=2

，
∴a_n=n，b_n=3×2^n-1；
（Ⅱ）由c_n+2c_n-1+…+（n-1）c₂+nc₁=2ⁿ⁺¹-n-2
知c_n-1+2c_n-2+…+（n-2）c₂+（n-1）c₁=2ⁿ-（n-1）-2（n≥2）
兩式相減：c_n+c_n-1+…+c₂+c₁=2ⁿ-1（n≥2）
∴c_n-1+…+c₂+c₁=2^n-1-1（n≥3）
∴c_n=2^n-1（n≥3）
當(dāng)n=1，2時(shí)，c₁=1，c₂=2，適合上式．
∴c_n=2^n-1（n∈N^*）．
即{c_n}是等比數(shù)列