Question

已知直線l：y=x+，圓O：x²+y²=5，橢圓E：+=1（a＞b＞0）的離心率e=，直線l被圓O截得的弦長與橢圓的短軸長相等．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）過圓O上任意一點(diǎn)P作橢圓E的兩條切線，若切線都存在斜率，求證兩切線斜率之積為定值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）設(shè)橢圓半焦距為c，求出圓心O到l的距離，可得弦長，從而可得橢圓的短軸長，利用橢圓的離心率e=，即可求得橢圓E的方程；
（Ⅱ）設(shè)P過點(diǎn)P的橢圓E的切線的方程與橢圓方程聯(lián)立，消去y可得一元二次方程，利用判別式為0建立方程，再利用韋達(dá)定理，計(jì)算兩切線斜率之積，即可得到結(jié)論．
解答：（Ⅰ）解：設(shè)橢圓半焦距為c，圓心O到l的距離d==，∴b==
∵橢圓E：+=1（a＞b＞0）的離心率e=，
∴
∴，解得a²=3
∴橢圓E的方程為；
（Ⅱ）證明：設(shè)P（x，y），過點(diǎn)P的橢圓E的切線l的方程為y-y=k（x-x）
與橢圓方程聯(lián)立，消去y可得（3+2k²）x²+4k（y-kx）x+2（kx-y）²-6=0
∴△=[4k（y-kx）]²-4（3+2k²）[2（kx-y）²-6]=0
∴（）k²+2kxy-（）=0
設(shè)滿足題意的橢圓的兩條切線的斜率分別為k₁，k₂，
∴k₁k₂=-
∵P在圓O上，∴，
∴k₁k₂=-=-1
∴兩切線斜率之積為定值-1．
點(diǎn)評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，聯(lián)立方程，利用判別式是關(guān)鍵．