Question

已知甲盒內(nèi)有大小相同的1個紅球和3個黑球，乙盒內(nèi)有大小相同的2個紅球和4個黑球，現(xiàn)從甲、乙兩個盒內(nèi)各任取2個球．
（Ⅰ）求取出的4個球中恰有1個紅球的概率；
（Ⅱ）設(shè)“從甲盒內(nèi)取出的2個球恰有1個為黑球”為事件A；“從乙盒內(nèi)取出的2個球都是黑球”為事件B，求在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率；
（Ⅲ）設(shè)ξ為取出的4個球中紅球的個數(shù)，求ξ的分布列和數(shù)學期望．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）設(shè)“從甲盒內(nèi)取出的2個球均為黑球；從乙盒內(nèi)取出的2個球中，1個是紅球，1個是黑球”為事件C，“從甲盒內(nèi)取出的2個球中，1個是紅球，1個是黑球；從乙盒內(nèi)取出的2個球均為黑球”為事件D．由事件C、D互斥，能求出取出的4個球中恰有1個紅球的概率．
（Ⅱ）先求出P（A），再由P（AB）=P（D），由此利用條件概率公式P（B/A）=能求出在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率．
（Ⅲ）由題設(shè)知ξ可能的取值為0，1，2，3，分別求出P（ξ=0），P（ξ=1），P（ξ=2），P（ξ=3，由此能求出ξ的分布列的數(shù)學期望．
解答：解：（Ⅰ）設(shè)“從甲盒內(nèi)取出的2個球均為黑球；從乙盒內(nèi)取出的2個球中，1個是紅球，1個是黑球”為事件C，“從甲盒內(nèi)取出的2個球中，1個是紅球，1個是黑球；從乙盒內(nèi)取出的2個球均為黑球”為事件D．由于事件C、D互斥，
則P（C）==，
P（D）==，
∴取出的4個球中恰有1個紅球的概率為
P（C+D）=P（C）+P（D）=+=．
（Ⅱ）∵“從甲盒內(nèi)取出的2個球恰有1個為黑球”為事件A，
∴P（A）==，
∵“從乙盒內(nèi)取出的2個球都是黑球”為事件B，
∴P（AB）=P（D）=，
∴在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率P（B/A）===．
（Ⅲ）由題設(shè)知ξ可能的取值為0，1，2，3，
由（Ⅰ）、（Ⅱ）得P（ξ=0）==，
P（ξ=1）=，
P（ξ=3）==，
∴P（ξ=2）=1-P（ξ=0）-P（ξ=1）-P（ξ=3）=，
∴ξ的分布列為

∴ξ的數(shù)學期望．…（12分）
點評：本題考查離散型隨機變量的分布列與數(shù)學期望的求法，考查條件概率的求法，解題時要認真審題，注意排列組合知識的合理運用．