Question

已知函數(shù)f（x）=ax+

a-1

x

+1-2a（a≥

1

2

）．
（Ⅰ）當a=2時，求函數(shù)y=f（x）在點（1，f（1））處的切線；
（Ⅱ）證明：f（x）≥lnx在[1，+∞）上恒成立；
（Ⅲ）證明：1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

＞ln（n+1）+

n

2(n+1)

（n∈N^*）．

Answer 1

考點：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）把a=2代入函數(shù)解析式，求導后得到f′（1），再求出f（1），然后由點斜式得答案；
（Ⅱ）構造輔助函數(shù)g(x)=f(x)-lnx=ax+

a-1

x

+1-2a-lnx(x≥1)，求導后由已知得到導函數(shù)大于等于0，再由g（x）的單調(diào)性得答案；
（Ⅲ）當a=

1

2

時，由（Ⅱ）可知

1

2

(x+

1

x

)≥lnx在[1，+∞）上恒成立．驗證當x=1時該不等式成立，然后利用前n項和為S_n=ln（n+1）的數(shù)列的通項公式為ln(n+1)-lnn=ln

n+1

n

，在

1

2

(x+

1

x

)≥lnx中取x=

k+1

k

，放縮后得到ln(k+1)-lnk＜

1

2

(

1

k

+

1

k+1

)，再利用累加法即可證得不等式．

解答： （Ⅰ）解：當a=2時，f(x)=2x+

1

x

-3，
f′(x)=2-

1

x2

，
∴f′（1）=1，又f（1）=0，
則函數(shù)y=f（x）在點（1，f（1））處的切線為：y=x-1；
（Ⅱ）證明：令g(x)=f(x)-lnx=ax+

a-1

x

+1-2a-lnx(x≥1)，則有：g′(x)=a-

a-1

x2

-

1

x

=

ax2-x-(a-1)

x2

=

a(x-1)(x- 1-a a )

x2

(x≥1)，
由于a≥

1

2

，得

1-a

a

≤1，
∴g′（x）≥0，
∴y=g（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，且g（1）=0．
∴g（x）≥g（1）=0，即f（x）≥lnx在[1，+∞）上恒成立；
（Ⅲ）證明：當a=

1

2

時，由（Ⅱ）可知

1

2

(x+

1

x

)≥lnx在[1，+∞）上恒成立．
當x＞1時，

1

2

(x+

1

x

)＞lnx．
由S_n=ln（n+1），得通項公式為ln(n+1)-lnn=ln

n+1

n

，
令x=

k+1

k

⇒ln

k+1

k

＜

1

2

(

k+1

k

-

k

k+1

)=

1

2

[(1+

1

k

)-(1-

1

k+1

)]=

1

2

(

1

k

+

1

k+1

)，
即：ln(k+1)-lnk＜

1

2

(

1

k

+

1

k+1

)，由累加法得：ln(n+1)＜

1

2

+(

1

2

+

1

3

+…+

1

n

)+

1

2(n+1)

⇒ln(n+1)+

1

2

＜1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

+

1

2(n+1)

，
∴1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

＞ln(n+1)+

n

2(n+1)

．

點評：本題考查了利用導數(shù)研究過曲線上某點處的切線方程，考查了利用導數(shù)求函數(shù)的最值，解答（Ⅱ）的關鍵是構造出函數(shù)g（x），（Ⅲ）的證明是該題的難點，考查了學生靈活分析問題和解決問題的能力，是壓軸題．