Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

1

2

，以原點(diǎn)O為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線x-y+

6

=0相切．
（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）若直線l：y=kx+m與橢圓C相交于A、B兩點(diǎn)，且k_OA•k_OB=-

b2

a2

，判斷△AOB的面積是否為定值？若為定值，求出定值；若不為定值，說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）利用直線與圓相切的性質(zhì)和點(diǎn)到直線的距離公式、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)即可得出；
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），把直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立可化為關(guān)于x的一元二次方程得到根與系數(shù)的關(guān)系、再利用弦長公式、點(diǎn)到直線的距離公式、三角形的面積計(jì)算公式即可得出．

解答： 解：（1）∵橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線x-y+

6

=0相切，
∴b=

|0-0+ 6 |

2

=

3

，
又a²=b²+c²，e=

c

a

=

1

2

，
解得a²=4，b²=3，
故橢圓的方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
（II）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由

y=kx+m x2 4 + y2 3 =1

化為（3+4k²）x²+8mkx+4（m²-3）=0，
△=64m²k²-16（3+4k²）（m²-3）＞0，化為3+4k²-m²＞0．
∴x1+x2=-

8mk

3+4k2

，x1x2=

4(m2-3)

3+4k2

．
y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k2x1x2+mk(x1+x2)+m2=

3(m2-4k2)

3+4k2

，
∵kOA•kOB=-

3

4

，
∴

y1y2

x1x2

=-

3

4

，y1y2=-

3

4

x1x2，

3(m2-4k2)

3+4k2

=-

3

4

•

4(m2-3)

3+4k2

，化為2m²-4k²=3，
|AB|=

1+k2

(x1+x2)2-4x1x2

=

1+k2

( -8mk 3+4k2 )2- 16(m2-3) 3+4k2

=

24(1+k2) 3+4k2

，
又d=

|m|

1+k2

=

1- 1 4(1+k2)

≥

1- 1 4

=

3

2

，S△=

1

2

|AB|d=

1

2

24(1+k2) 3+4k2

|m|

1+k2

=

1

2

24(1+k2)m2 (3+4k2)(1+k2)

=

1

2

24m2 (3+4k2)

=

1

2

24 3+4k2 • 3+4k2 2

=

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線與圓相切的性質(zhì)、點(diǎn)到直線的距離公式、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可化為關(guān)于x的一元二次方程得到根與系數(shù)的關(guān)系、弦長公式、三角形的面積計(jì)算公式等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．