Question

定義在R上的偶函數(shù)f（x）滿足f（x+1）=-f（x），且在[-1，0]上是增函數(shù)，給出下列關(guān)于f（x）的命題：①f（x）是周期函數(shù)；
②f（x）關(guān)于直線x=1對稱；
③f（x）在[1，2]上單調(diào)遞減；
④f（-

1

2

）＞f（3），
其中正確命題的序號是______．（請?zhí)钌纤�有正確命題的序號）

Answer 1

①由f（x+1）=-f（x），得f（x+2）=f（x），所以函數(shù)f（x）是周期函數(shù)，周期為2．所以①正確．
②因?yàn)閒（x+2）=f（x），且函數(shù)為偶函數(shù)，所以f（x+2）=f（-x），即f（1+x）=f（1-x），所以f（x）關(guān)于直線x=1對稱，所以②正確．
③因?yàn)楹瘮?shù)f（x）是周期為2的函數(shù)且在[-1，0]上是增函數(shù)，所以f（x）在[1，2]上單調(diào)遞增，所以③錯(cuò)誤．
④因?yàn)閒（3）=f（1）=f（-1），且f（x）在[-1，0]上是增函數(shù)，所以f（-

1

2

）＞f（-1），即f（-

1

2

）＞f（3）成立，所以④正確．
故答案為：①②④．