Question

7．如圖，四棱錐P-ABCD中，△PAD為正三角形，AB∥CD，AB=2CD，∠BAD=90°，PA⊥CD，E為棱PB的中點
（Ⅰ）求證：平面PAB⊥平面CDE；
（Ⅱ）若AD=CD=2，求點P到平面ADE的距離．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取AP的中點F，連結EF，DF，推導出四邊形CDEF為平行四邊形，從而DF∥CE，由此能證明平面PAB⊥平面CDE，
（Ⅱ）利用等體積求點點P到平面ADE的距離．

解答 證明：（Ⅰ）取AP的中點F，連結EF，DF，
∵E是PB中點，∴EF∥AB，EF=$\frac{1}{2}$AB，
∴CD∥AB，CD=$\frac{1}{2}$AB，
∴CD∥EF，CD=EF
∴四邊形CDEF為平行四邊形，
∴DF∥CE，
又△PAD 為正三角形，
∴PA⊥DF，從而PA⊥CE，
又PA⊥CD，CD∩CE=C，
∴PA⊥平面CDE，
又PA?平面PAB，∴平面PAB⊥平面CDE．
解：（Ⅱ）∵AB∥CD，AB⊥AD，
∴CD⊥AD，
又PA⊥CD，PA∩AD=A，
∴CD⊥平面PAD，
又（Ⅰ）知，CD∥EF，
∴EF⊥平面PAD，
∴EF為三棱錐的E-PAD的高，且EF=CD=2，
易得△PAD的面積S_△PAD=$\frac{\sqrt{3}}{4}$×2²=$\sqrt{3}$，
在Rt△PAB中，PB=2$\sqrt{5}$，AE=$\frac{1}{2}$PB=$\sqrt{5}$，
在矩形CDEF中，CD=2，CE=DF=$\sqrt{3}$，
∴DE=$\sqrt{7}$，
在△ADE中，AE=$\sqrt{5}$，DE=$\sqrt{7}$，AD=2，
由平面幾何知識可得AD邊上的高EH=$\frac{\sqrt{19}}{2}$，
∴△ADE的面積S_△ADE=$\frac{1}{2}$×2×$\frac{\sqrt{19}}{2}$=$\frac{\sqrt{19}}{2}$，
設點P到平面ADE的距離為d，由V_P-ADE=V_E-PAD得
$\frac{1}{3}$×$\sqrt{3}$×2=$\frac{1}{3}$×$\frac{\sqrt{19}}{2}$d，
解得d=$\frac{4\sqrt{57}}{19}$
∴點P到平面ADE的距離為$\frac{4\sqrt{57}}{19}$

點評 本題考查直線與平面垂直的證明，求三棱錐的體積，解題時要認真審題，注意合理地化立體幾何問題為平面幾何問題．