Question

17．已知向量$\overrightarrow{m}$=（2$\sqrt{3}$sinx，cosx），$\overrightarrow{n}$=（cosx，2cosx），設(shè)函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$．
（1）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）設(shè)△ABC三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，f（B）=2且a+c=3，△ABC的面積S=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，求b的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平面向量的數(shù)量積，利用三角函數(shù)的恒等變換以及三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，即可求出f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（2）根據(jù)題意，求出角B的值，利用三角形的面積公式以及余弦定理，求出b的值．

解答 解：（1）∵向量$\overrightarrow{m}$=（2$\sqrt{3}$sinx，cosx），$\overrightarrow{n}$=（cosx，2cosx），
∴f（x）=$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=2$\sqrt{3}$sinxcosx+2cos²x
=$\sqrt{3}$sin2x+（cos2x+1）
=2（sin2xcos$\frac{π}{6}$+cos2xsin$\frac{π}{6}$）+1
=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1；
令-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，
∴-$\frac{2π}{3}$+2kπ≤2x≤$\frac{π}{3}$+2kπ，k∈Z，
∴-$\frac{π}{3}$+kπ≤x≤$\frac{π}{6}$+kπ，k∈Z，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間是[-$\frac{π}{3}$+kπ，$\frac{π}{6}$+kπ]，k∈Z；
（2）在△ABC中，f（B）=2，
即2sin（2B+$\frac{π}{6}$）+1=2，
∴sin（2B+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，
∴2B+$\frac{π}{6}$=$\frac{5π}{6}$，
解得B=$\frac{π}{3}$；
∴△ABC的面積為S=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{1}{2}$ac•$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴ac=2；
又a+c=3，
∴由余弦定理得
b²=a²+c²-2accosB=a²+c²-ac=（a+c）²-3ac=3²-3×2=3，
∴b=$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評 本題考查了平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算問題，也考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，考查了正弦和余弦定理的應(yīng)用問題，是綜合性題目．