Question

如圖，已知橢圓=1（a＞b＞0），F(xiàn)₁、F₂分別為橢
圓的左、右焦點，A為橢圓的上頂點，直線AF₂交橢圓于另一
點B、
（1）若∠F₁AB=90°，求橢圓的離心率；
（2）若=2，•=，求橢圓的方程．

Answer 1

解：（1）若∠F₁AB=90°，則△AOF₂為等腰直角三角形，所以有OA=OF₂，即b=C、
所以a=c，e==．
（2）由題知A（0，b），F(xiàn)₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），
其中，c=，設B（x，y）．
由=2?（c，-b）=2（x-c，y），解得x=，
y=-，即B（，-）．
將B點坐標代入=1，得+=1，
即+=1，
解得a²=3c²．①
又由•=（-c，-b）•（，-）=
?b²-c²=1，
即有a²-2c²=1．②
由①，②解得c²=1，a²=3，從而有b²=2．
所以橢圓方程為+=1．
分析：（1）根據(jù)∠F₁AB=90°推斷出△AOF₂為等腰直角三角形，進而可知OA=OF₂，求得b和c的關系，進而可求得a和c的關系，即橢圓的離心率．
（2）根據(jù)題意可推斷出A，和兩個焦點的坐標，設出B的坐標，利用已知條件中向量的關系，求得x和y關于c的表達式，代入橢圓方程求得a和c的關系，利用•=求得a和c的關系，最后聯(lián)立求得a和b，則橢圓方程可得．
點評：本題主要考查了橢圓的應用和橢圓的簡單性質(zhì)，向量的基本性質(zhì)．注意挖掘題意中隱含的條件，充分利用．