Question

【題目】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，Sn＝nan+n（n﹣1），且a5是a2和a6的等比中項(xiàng)．

（Ⅰ）證明：數(shù)列{an}是等差數(shù)列并求其通項(xiàng)公式；

（Ⅱ）設(shè)，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）an＝13﹣2n； （Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）將n換為n+1，相減，運(yùn)用數(shù)列的遞推式和等差數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式，以及等比數(shù)列中項(xiàng)性質(zhì)，可得首項(xiàng)和公差，進(jìn)而得到所求通項(xiàng)；

（Ⅱ）求得（），由數(shù)列的裂項(xiàng)相消求和，化簡(jiǎn)可得所求和．

（Ⅰ）Sn＝nan+n（n﹣1），

可得Sn+1＝（n+1）an+1+n（n+1），

相減可得Sn+1﹣Sn＝（n+1）an+1﹣nan+n（n+1）﹣n（n﹣1），

化簡(jiǎn)an+1＝（n+1）an+1﹣nan+2n，

即為nan+1﹣nan＝﹣2n，

即有an+1﹣an＝﹣2，

則數(shù)列{an}是公差d為﹣2的等差數(shù)列，

a5是a2和a6的等比中項(xiàng)，可得，

即（a1﹣8）2＝（a1﹣2）（a1﹣10），解得a1＝11，則an＝11﹣2（n﹣1）＝13﹣2n；

（Ⅱ）（），

則數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為（）

（）．