Question

【題目】在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為矩形，平面PAB⊥平面ABCD，AB＝AP＝3，AD＝PB＝2，E為線段AB上一點，且AE︰EB＝7︰2，點F、G分別為線段PA、PD的中點．

（1）求證：PE⊥平面ABCD；

（2）若平面EFG將四棱錐P－ABCD分成左右兩部分，求這兩部分的體積之比．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）證明PE⊥AB，利用平面PAB⊥平面ABCD，即可證明：PE⊥平面ABCD；

（2）平面EFG將四棱錐P﹣ABCD分成左右兩部分，利用分割法求體積，即可求這兩部分的體積之比．

證明：在等腰△APB中，得，

則由余弦定理可得，，∴，

∴PE2+BE2＝4＝PB2，∴PE⊥AB，

∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，

∴PE⊥平面ABCD．

（2）解：設平面EFG與棱CD交于點N，連接EN，因為GF∥AD，所以GF∥平面ABCD，從而可得EN∥AD．

延長FG至點M，使GM＝GF，連接DM，MN，則AFE﹣DMN為直三棱柱，

∵F到AE的距離為，，

∴，

∴，，

∴，

又，

∴．