Question

已知等差數(shù)列{a_n}的前項(xiàng)n和為S_n，且S_n=n-5a_n-85，n∈N^*．
（1）證明：{a_n-1}是等比數(shù)列；
（2）求{S_n}的通項(xiàng)公式；
（3）求S_n取得最小值時(shí)n的值．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知得a₁-1=-15，a_n-1=

5

6

(an-1-1)，由此能證明{a_n-1}是首項(xiàng)為-15，公比為

5

6

的等比數(shù)列．
（2）由（1）得an-1=-15•(

5

6

)n-1，由此能求出{S_n}的通項(xiàng)公式．
（3）由S_n+1＞S_n，得n+1+75•(

5

6

)n-90＞n+75•（

5

6

）^n-1-90，由此能求出S_n取得最小值時(shí)n的值為15．

解答： （1）證明：當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=1-5a₁-85
解得a₁=-14，則a₁-1=-15
當(dāng)n≥2時(shí)，S_n-1=（n-1）-5a_n-1-85
∴a_n=S_n-S_n-1=1-5a_n+5a_n-1
∴6a_n=5a_n-1+1，即a_n-1=

5

6

(an-1-1)，
∴{a_n-1}是首項(xiàng)為-15，公比為

5

6

的等比數(shù)列．
（2）解：由（1）得an-1=-15•(

5

6

)n-1，
∴Sn=n-5[1-15•(

5

6

)n-1]-85=n+75•(

5

6

)n-1-90．
（3）解：由S_n+1＞S_n，得n+1+75•(

5

6

)n-90＞n+75•（

5

6

）^n-1-90，
即15•(

5

6

)n＜1，解得n＞log

5

6

1

15

≈14.85，
∴S_n取得最小值時(shí)n的值為15．

點(diǎn)評(píng)：本題考查{a_n-1}是等比數(shù)列的證明，考查{S_n}的通項(xiàng)公式的求法，考查S_n取得最小值時(shí)n的值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意構(gòu)造法的合理運(yùn)用．