Question

15．如圖所示，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為a的菱形，∠DAB=60°，PA=PB=PD=a．
（I）求證：PB⊥BC；
（Ⅱ）求二面角A-PB-C的余弦值．

Answer 1

分析 （I）根據線面垂直的性質即可證明PB⊥BC；
（Ⅱ）利用向量法，表示出向量$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{AH}$+$\overrightarrow{HB}$+$\overrightarrow{BC}$，得到向量$\overrightarrow{HA}$與$\overrightarrow{BC}$所成的角即可二面角A-PB-C的平面角，根據向量關系即可求二面角A-PB-C的余弦值．

解答 解：（I）∵底面ABCD是邊長為a的菱形，∠DAB=60°，
∴取AD的中點E，則BE⊥AD，
∵PA=PD=a，∴PE⊥AD，
∵PE∩AD=E，
∴AD⊥平面PBE，
∵AD∥BC，
∴BC⊥平面PBE
∵PB?平面PBE，
∴PB⊥BC．
（Ⅱ）∵底面ABCD是邊長為a的菱形，∠DAB=60°，
∴AB=a，AC=$\sqrt{3}$a，
則△PAB是正三角形，
取PB的中點H，
則AH⊥PB，
∵PB⊥BC．
∴向量$\overrightarrow{HA}$與$\overrightarrow{BC}$所成的角即可二面角A-PB-C的平面角，
∵BH=$\frac{1}{2}$a，AH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，
$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{AH}$+$\overrightarrow{HB}$+$\overrightarrow{BC}$，
∴$\overrightarrow{AC}$²=（$\overrightarrow{AH}$+$\overrightarrow{HB}$+$\overrightarrow{BC}$）²=$\overrightarrow{AH}$²+$\overrightarrow{HB}$²+$\overrightarrow{BC}$²+2$\overrightarrow{AH}$•$\overrightarrow{HB}$+2$\overrightarrow{AH}$•$\overrightarrow{BC}$+2$\overrightarrow{HB}$•$\overrightarrow{BC}$，
即3a²=$\frac{3}{4}$a²+$\frac{1}{4}$a²+a²+0-2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$a•acos＜$\overrightarrow{HA}$，$\overrightarrow{BC}$＞即cos＜$\overrightarrow{HA}$，$\overrightarrow{BC}$＞=$-\frac{\sqrt{3}}{3}$，
則二面角A-PB-C的余弦值是$-\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題主要考查線面垂直的應用以及二面角的求解，利用向量法是解決本題的關鍵．綜合性較強，有一定的難度．