Question

20．已知函數(shù)f（x）=$\frac{2sin2x+cos4x-1}{2sin2x}$．
（1）求函數(shù)f（x）的定義域；
（2）化簡函數(shù)式，并求出函數(shù)f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）要使f（x）=$\frac{2sin2x+cos4x-1}{2sin2x}$有意義，則sin2x≠0，解得即可，
（2）根據(jù)二倍角公式，化簡，再根據(jù)正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可求出值域．

解答 解：（1）要使f（x）=$\frac{2sin2x+cos4x-1}{2sin2x}$有意義，
則sin2x≠0，即2x≠kπ，即x≠$\frac{kπ}{2}$，k∈Z，
故函數(shù)的定義域為{x|x≠$\frac{kπ}{2}$，k∈Z}，
（2）f（x）=$\frac{2sin2x+cos4x-1}{2sin2x}$=1+$\frac{1-si{n}^{2}2x-1}{2sin2x}$=1-$\frac{1}{2}$sin2x，
∵-1≤sin2x≤1，且sin2x≠0，
∴$\frac{1}{2}$≤1-$\frac{1}{2}$sin2x≤$\frac{3}{2}$，且1-$\frac{1}{2}$sin2x≠1，
故函數(shù)f（x）的值域為[$\frac{1}{2}$，1）∪（1，$\frac{3}{2}$]．

點評 本題考查了函數(shù)的定義域和值域的問題，以及二倍角公式，屬于基礎(chǔ)題．