Question

（本小題滿分14分）對于函數(shù)，若存在，使，則稱是的一個不動點(diǎn)，已知函數(shù)，

（1）當(dāng)時，求函數(shù)的不動點(diǎn)；

（2）對任意實(shí)數(shù)，函數(shù)恒有兩個相異的不動點(diǎn)，求的取值范圍；

（3）在（2）的條件下，若的圖象上兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)是的不動點(diǎn)，且兩點(diǎn)關(guān)于直線對稱，求的最小值

 

Answer 1

（1）和；（2）；（3）

【解析】

試題分析：（1）由題意是的不動點(diǎn)，所以，得或，所以函數(shù)的不動點(diǎn)為和

（2）函數(shù)恒有兩個相異的不動點(diǎn)，即恒有兩個不等的實(shí)根，即對恒成立，即，得的取值范圍為

（3）由題意A,B兩點(diǎn)的直線斜率為1，所以，，中點(diǎn)為，則的坐標(biāo)為，

∴，∴，由均值不等式得當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，∴的最小值為

試題解析: 【解析】
（1），是的不動點(diǎn)，

則，得或，函數(shù)的不動點(diǎn)為和

（2）∵函數(shù)恒有兩個相異的不動點(diǎn)，∴恒有兩個不等的實(shí)根，對恒成立，

∴，得的取值范圍為

（3）由得，由題知，，

設(shè)中點(diǎn)為，則的坐標(biāo)為，

∴，∴，

當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，∴的最小值為

 

考點(diǎn)：一元二次不等式恒成立問題、均值不等式的應(yīng)用.