已知兩點(diǎn)M（0，0），N（-
12
5
，-
6
5
），給出下列曲線方程：
①4x+2y-1=0；
②x2+y2=3；
③
x2
2
+y2=1；
④
x2
2
-y2=1．
在曲線上存在點(diǎn)P滿(mǎn)足|MP|=|NP|的所有曲線方程是（　�。�
A、①③B、②④
C、①②③D、②③④
分析：求出線段MN的垂直平分線方程，然后分別和題目給出的四條曲線方程聯(lián)立，利用判別式判斷直線和曲線的交點(diǎn)情況，從而判斷給出的曲線上是否存在點(diǎn)P，使得|MP|=|NP|．
解答：解：由M（0，0），N（-
12
5
，-
6
5
），
得k=
-
6
5
-
12
5
=
1
2
，M，N中點(diǎn)坐標(biāo)為（-
6
5
，-
3
5
）．
∴MN的垂直平分線方程為y+
3
5
=-2（x+
6
5
），
即2x+y+3=0．
①∵直線2x+y+3=0與直線4x+2y-1=0平行，
∴直線4x+2y-1=0上不存在點(diǎn)P，使|MP|=|NP|；
②聯(lián)立
2x+y+3=0
x2+y2=3
，得
5x2+12x+6=0，
△=122-4×5×6=24＞0．
∴直線y=-2x-3與x2+y2=3有交點(diǎn)，
∴曲線x2+y2=3上存在點(diǎn)P滿(mǎn)足|MP|=|NP|；
③聯(lián)立
2x+y+3=0
x2
2
+y2=1
，得
9x2+24x+16=0，
△=242-4×9×16=0．
∴直線y=-2x-3與
x2
2
+y2=1有交點(diǎn)，
∴曲線
x2
2
+y2=1上存在點(diǎn)P滿(mǎn)足|MP|=|NP|；
④聯(lián)立
2x+y+3=0
x2
2
-y2=1
，
得7x2+24x+20=0，
△=242-4×7×20=16＞0．
∴直線y=-2x-3與
x2
2
-y2=1有交點(diǎn)，
∴曲線
x2
2
-y2=1上存在點(diǎn)P滿(mǎn)足|MP|=|NP|．
故答案為：②③④．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了曲線與方程，訓(xùn)練了線段的垂直平分線方程的求法，考查了利用判別式法判斷兩條曲線的位置關(guān)系，是中檔題．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知兩點(diǎn)M（-1，0），N（1，0）若直線3x-4y+m=0上存在點(diǎn)P滿(mǎn)足
PM
•
PN
=0，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（　�。�
A、（-∞，-5]∪[5，+∞）
B、（-∞，-25]∪[25，+∞）
C、[-25，25]
D、[-5，5]

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知兩點(diǎn)M（1，-3）、N（5，1），若點(diǎn)C滿(mǎn)足
OC
=t
OM
+（1-t）
ON
（t∈R），點(diǎn)C的軌跡與拋物線：y2=4x交于A、B兩點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：
OA
⊥
OB
；
（Ⅱ）在x軸上是否存在一點(diǎn)P（m，0）（m∈R），使得過(guò)P點(diǎn)的直線交拋物線于D、E兩點(diǎn)，并以該弦DE為直徑的圓都過(guò)原點(diǎn)．若存在，請(qǐng)求出m的值及圓心的軌跡方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知兩點(diǎn)M（0，-2），N（0，2），動(dòng)點(diǎn)P（x，y）滿(mǎn)足
PM
•
PN
=8，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知兩點(diǎn)M（1，-3）、N（5，1），若點(diǎn)C滿(mǎn)足
OC
=t
OM
+（1-t）
ON
（t∈R），點(diǎn)C的軌跡與拋物線：y2=4x交于A、B兩點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：
OA
⊥
OB
；
（Ⅱ）在x軸上是否存在一點(diǎn)P（m，0）（m∈R），使得過(guò)P點(diǎn)的直線交拋物線于D、E兩點(diǎn)，并以該弦DE為直徑的圓都過(guò)原點(diǎn)．若存在，請(qǐng)求出m的值及圓心的軌跡方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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