Question

14．在如圖所示的四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是長方形，PC⊥底面ABCD，PC=CD，E為PD的中點(diǎn)．
（1）求證：PB∥平面ACE；
（2）求證：PA⊥CE．

Answer 1

分析 （1）連接AC，BD，交點(diǎn)為O，則可利用中位線定理得出PB∥OE，于是PB∥平面ACE；
（2）通過證明AD⊥平面PCD得出AD⊥CE，利用三線合一得出CE⊥PD，故而CE⊥平面PAD，于是CE⊥PA．

解答 證明：（1）連接AC，BD交于點(diǎn)O，連接OE．
∵底面ABCD是長方形，
∴O是BD的中點(diǎn)．又E是PD的中點(diǎn)，
∴OE∥PB，又PB?平面ACE，OE?平面ACE，
∴PB∥平面ACE．
（2）∵PC⊥平面ABCD，AD?平面ABCD，
∴PC⊥AD．又AD⊥CD，CD?平面PCD，PC?平面PCD，PC∩CD=C，
∴AD⊥平面PCD，∵CE?平面PCD，
∴AD⊥CE．
∵PC=CD，E為PD的中點(diǎn)，
∴CE⊥PD，
又PD?平面PAD，AD?平面PAD，PD∩AD=D，
∴CE⊥平面PAD，又PA?平面PAD，
∴PA⊥CE．

點(diǎn)評 本題考查了線面平行，線面垂直的判定，屬于中檔題．