Question

已知向量

a

=（2cosα，2sinα），

b

=（3cosβ，3sinβ），若向量

a

與

b

的夾角為60°，則直線xcosα-ysinα+

1

2

=0與圓(x-cosβ)2+(y+sinβ)2=

1

2

的位置關系是（　�。�

• A、相交
• B、相切
• C、相離
• D、相交且過圓心

Answer 1

分析：本題考查的知識點是平面微量的數(shù)量積運算，及直線與圓的位置關系，由已知中直線xcosα-ysinα+

1

2

=0與圓(x-cosβ)2+(y+sinβ)2=

1

2

的方程，我們易得到圓心到直線距離d的表達式，再由向量

a

=（2cosα，2sinα），

b

=（3cosβ，3sinβ），若向量

a

與

b

的夾角為60°，我們可以計算出d值，與圓半徑比較，即可得到答案．

解答：解：∵圓的方程為(x-cosβ)2+(y+sinβ)2=

1

2

∴圓心坐標為（cosβ，-sinβ），半徑為

2

2

則圓心到直線xcosα-ysinα+

1

2

=0距離
d=|cosαcosβ+sinαsinβ+

1

2

|=|cos（α-β）+

1

2

|
又∵

a

=（2cosα，2sinα），

b

=（3cosβ，3sinβ），向量

a

與

b

的夾角為60°，
則

a

•

b

=6cosαcosβ+6sinαsinβ=2×3×

1

2

=3
即cosαcosβ+sinαsinβ=

1

2

∴d=|

1

2

+

1

2

|=1＞

2

2

，
故圓與直線相離．
故選C

點評：若圓心到直線的距離為d，圓的半徑為r，則：
①當d＜r時，圓與直線相交；
②當d=r時，圓與直線相切；
③當d＞r時，圓與直線相離．