如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是矩形，AB=2，數(shù)學(xué)公式，且側(cè)面PAB是正三角形，平面PAB⊥平面ABCD，E是棱PA的中點(diǎn)．
（1）求證：PC∥平面EBD；
（2）求三棱錐P-EBD的體積．

（1）證明：在矩形ABCD中，連接AC，設(shè)AC、BD交點(diǎn)為O，則O是AC中點(diǎn)．
又E是PA中點(diǎn)，所以EO是△PAC的中位線，所以PC∥EO
又EO?平面EBD，PC?平面EBD．
所以PC∥平面EBD
（2）解：取AB中點(diǎn)H，則由PA=PB，得PH⊥AB，
又平面PAB⊥平面ABCD，且平面PAB∩平面ABCD=AB，
所以PH⊥平面ABCD．
取AH中點(diǎn)F，由E是PA中點(diǎn)，得EF∥PH，所以EF⊥平面ABCD．
∵，
由題意可求得：S△ABD=，PH=，EF=
則
（1）連接AC，設(shè)AC、BD交點(diǎn)為O，利用EO是△PAC的中位線，可得PC∥EO，利用線面平行的判定，可得PC∥平面EBD；
（2）取AB中點(diǎn)H，先證明PH⊥平面ABCD．取AH中點(diǎn)F，可證EF⊥平面ABCD，進(jìn)而可求三棱錐P-EBD的體積．
點(diǎn)評：本題考查線面平行、線面垂直，考查三棱錐體積的計(jì)算，掌握線面平行、線面垂直的判定是解題的關(guān)鍵．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，
E是PC的中點(diǎn)．求證：
（Ⅰ）CD⊥AE；
（Ⅱ）PD⊥平面ABE．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，AB=AD=2CD=2，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，且△PAD為等腰直角三角形，∠APD=90°，M為AP的中點(diǎn)．
（1）求證：AD⊥PB；
（2）求三棱錐P-MBD的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是矩形，AB=2，BC=
2
，且側(cè)面PAB是正三角形，平面PAB⊥平面ABCD．
（1）求證：PD⊥AC；
（2）在棱PA上是否存在一點(diǎn)E，使得二面角E-BD-A的大小為45°，若存在，試求
AE
AP
的值，若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥底面ABCD，且PA=AB=1，AD=
3
，點(diǎn)F是PB中點(diǎn)．
（Ⅰ）若E為BC中點(diǎn)，證明：EF∥平面PAC；
（Ⅱ）若E是BC邊上任一點(diǎn)，證明：PE⊥AF；
（Ⅲ）若BE=
3
3
，求直線PA與平面PDE所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD，PA⊥平面ABCD，ABCD是直角梯形，DA⊥AB，CB⊥AB，PA=2AD=BC=2，AB=2
2
，設(shè)PC與AD的夾角為θ．
（1）求點(diǎn)A到平面PBD的距離；
（2）求θ的大小；當(dāng)平面ABCD內(nèi)有一個(gè)動點(diǎn)Q始終滿足PQ與AD的夾角為θ，求動點(diǎn)Q的軌跡方程．

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