Question

15．已知向量$\overrightarrow{a}$與向量$\overrightarrow$的夾角為120°，若（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）⊥（$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow$），|$\overrightarrow{a}$|=2，則向量$\overrightarrow$在$\overrightarrow{a}$上的投影為（　　）

• A． $-\frac{{\sqrt{33}}}{8}$
• B． $\frac{\sqrt{33}+1}{8}$
• C． -$\frac{\sqrt{33}+1}{8}$
• D． $\frac{1-\sqrt{33}}{8}$

Answer 1

分析 根據(jù)（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）•（$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow$）=0計(jì)算|$\overrightarrow$|，代入投影公式即可得出答案．

解答 解：∵（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）⊥（$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow$），
∴（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）•（$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow$）=$\overrightarrow{a}$²-$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$-2$\overrightarrow$²=0，
又${\overrightarrow{a}}^{2}$=4，$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=2|$\overrightarrow$|cos120°=-|$\overrightarrow$|，${\overrightarrow}^{2}$=|$\overrightarrow$|²，
∴4-|$\overrightarrow$|-2|$\overrightarrow$|²=0，解得|$\overrightarrow$|=$\frac{\sqrt{33}-1}{4}$．
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=$\frac{1-\sqrt{33}}{4}$，
∴向量$\overrightarrow$在$\overrightarrow{a}$上的投影為$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}|}$=$\frac{1-\sqrt{33}}{8}$．
故選D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，屬于中檔題．