Question

7．已知在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2+4cosθ}\\{y=1+4sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），直線l經(jīng)過(guò)定點(diǎn)P（3，4），傾斜角為$\frac{π}{6}$．
（Ⅰ）寫出直線l的參數(shù)方程和曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（Ⅱ）設(shè)直線l與曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，求|PA|•|PB|的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由直線l經(jīng)過(guò)定點(diǎn)P（3，4），傾斜角為$\frac{π}{6}$，能求出直線l的參數(shù)方程；曲線C的參數(shù)方程消去參數(shù)θ，能求出曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（Ⅱ）把直線l的參數(shù)方程代入曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程，得：${t}^{2}+（3+\sqrt{3}）t-6=0$，由此能求出|PA|•|PB|的值．

解答 解：（Ⅰ）∵直線l經(jīng)過(guò)定點(diǎn)P（3，4），傾斜角為$\frac{π}{6}$，
∴直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=3+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=4+\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）．
∵曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2+4cosθ}\\{y=1+4sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），
∴曲線C消去參數(shù)θ，得曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：（x-2）²+（y-1）²=16．
（Ⅱ）把直線l的參數(shù)方程$\left\{\begin{array}{l}{x=3+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=4+\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）代入曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程：（x-2）²+（y-1）²=16．
整理，得：${t}^{2}+（3+\sqrt{3}）t-6=0$，
設(shè)t₁，t₂是方程的兩個(gè)根，則t₁t₂=-6，
∴|PA|•|PB|=|t₁|•|t₂|=|t₁t₂|=6．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線的參數(shù)方程、曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，考查兩線段乘積的求法，考查直角坐標(biāo)方程、極坐標(biāo)方程、參數(shù)方程的互化等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．