f(x)=lg
1+2x+3x+…+(n-1)x+nxa
n
,其中a是實數(shù),n是任意給定的正自然數(shù)且n≥2,如果f(x)當x∈(-∞,1]時有意義,求a的取值范圍.
考點:對數(shù)函數(shù)的圖像與性質
專題:函數(shù)的性質及應用
分析:分離參數(shù)a>-[(
1
n
x+(
2
n
x+…+(
n-1
n
)x
],運用函數(shù)y=(
k
n
x,k=1,2,3…n-1,在(-∞,1]上都是增函數(shù)
,y=-[(
1
n
x+(
2
n
x+…+(
n-1
n
)x
],(-∞,1]上也是增函數(shù),求解最值問題即可.
解答: 解:f(x)當x∈(-∞,1]時有意義的條件是1+2x+…+(n-1)x+nxa>0,x∈(-∞,1],n≥2,
即a>-[(
1
n
x+(
2
n
x+…+(
n-1
n
)x
],
∵y=-(
k
n
x,k=1,2,3…n-1,在(-∞,1]上都是增函數(shù),
∴y=-[(
1
n
x+(
2
n
x+…+(
n-1
n
)x
],在(-∞,1]上也是增函數(shù),
從而它在x=1時取得最大值-(
1
n
+
2
n
+…+
n-1
n
)=-
1
2
(n-1).
所以a>-[(
1
n
x+(
2
n
x+…+(
n-1
n
)x
],成立.
n≥2
只需a>-
1
2
,
故a的取值范圍是{a|a>-
1
2
}.
點評:本題綜合考查了函數(shù)的性質的運用,解決不等式恒成立問題時,注意根據(jù)單調性求解最值問題.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

設P(x,2)為角α終邊上的一點,且sinα=
2
x
,則tanα=( 。
A、1B、-1C、±1D、±2

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

設O1,O2,…,On,…是坐標平面上圓心在x軸非負半軸上的一列圓(其中O1為坐標原點),且圓On和圓On+1相外切,并均與直線x+
3
y-2
3
=0相切,記圓On的半徑為Rn
(Ⅰ)求圓O1的方程;
(Ⅱ)求數(shù)列{Rn}的通項公式,并求數(shù)列{
3
3
Rn•log 
3
Rn}的前n項和Sn

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知數(shù)列{an}的各項均為正數(shù),Sn表示數(shù)列{an}的前n項的和,且2Sn=an2+an
(1)求a1;
(2)數(shù)列{an}的通項公式;
(3)設bn=
1
anan+1
,記數(shù)列{bn}的前n項和Tn,若對n∈N*,Tn≤k(n+4)恒成立,求實數(shù)k的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

設函數(shù)f(x)=
2x+1
x
(x>0),數(shù)列{an}滿足a1=1,an=f(
1
an-1
)
,(n∈N*,且n≥2).
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)設Tn=a1a2-a2a3+a3a4-a4a5+…+(-1)n-1anan+1,若T2n>4tn2對n∈N*恒成立,求實數(shù)t的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

觀察下列各式:1=1,2+3+4=9,3+4+5+6+7=25,4+5+6+7+8+9+10=49,…,由此可歸納出n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=
 

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知a,b均為非負實數(shù),且a2+b2=1,試求:a
1+b2
的最大值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知數(shù)列{an},前n項和為Sn,Sn=
n+b
3
an,且滿足
an
an-1
=
n+1
n-1
,則b=
 

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

觀察下列各式:72=49,73=343,74=2410,75=16807 …則72015的末兩位數(shù)為( 。
A、01B、07C、43D、49

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