Question

已知函數(shù)，，
（Ⅰ）若曲線與曲線相交，且在交點處有相同的切線，求的值及該切線的方程；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù),當(dāng)存在最小值時，求其最小值的解析式；
（Ⅲ）對（Ⅱ）中的，證明：當(dāng)時， .

Answer 1

（Ⅰ）a=， y－e= (x－e²)(II) （Ⅲ）利用函數(shù)的單調(diào)性證明

試題分析：（Ⅰ）=,=(x>0),
由已知得 解得a=，x=e²,
∴兩條曲線交點的坐標(biāo)為(e²,e) 切線的斜率為k=f’(e²)=
∴切線的方程為 y－e= (x－e²)
(II)由條件知h(x)=–aln x(x＞0),
（i）當(dāng)a>0時，令解得，
∴當(dāng)0 << 時，，在（0，）上遞減；
當(dāng)x>時，，在上遞增.
∴是在上的唯一極值點，且是極小值點，從而也是的最小值點.
∴最小值
（ii）當(dāng)時，在（0，+∞）上遞增，無最小值。
故的最小值的解析式為
（Ⅲ）由（Ⅱ）知
則，令解得.
當(dāng)時，，∴在上遞增；
當(dāng)時，，∴在上遞減.
∴在處取得最大值
∵在上有且只有一個極值點，所以也是的最大值.
∴當(dāng)時，總有
點評：導(dǎo)數(shù)本身是個解決問題的工具，是高考必考內(nèi)容之一，高考往往結(jié)合函數(shù)甚至是實際問題考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，求單調(diào)、最值、完成證明等，請注意歸納常規(guī)方法和常見注意點