Question

【題目】若，不等式恒成立，則正實(shí)數(shù)的取值范圍是_____.

Answer 1

【答案】

【解析】

由題意可得（eλx ）min≥0，設(shè)f（x）＝eλx，x＞0，求出導(dǎo)數(shù)和單調(diào)區(qū)間、極小值點(diǎn)m和最小值點(diǎn)，可令最小值為0，解方程可得m，λ，進(jìn)而得到所求最小值．

實(shí)數(shù)λ＞0，若對任意的x∈（0，+∞），不等式eλx0恒成立，

即為（eλx ）min≥0，

設(shè)f（x）＝eλx，x＞0，f′（x）＝λeλx，

令f′（x）＝0，可得eλx，

由指數(shù)函數(shù)和反比例函數(shù)在第一象限的圖象，

可得y＝eλx和y有且只有一個(gè)交點(diǎn)，

設(shè)為（m，n），當(dāng)x＞m時(shí)，f′（x）＞0，f（x）遞增；

當(dāng)0＜x＜m時(shí)，f′（x）＜0，f（x）遞減．

即有f（x）在x＝m處取得極小值，且為最小值．

即有eλm，令eλm0，

可得m＝e，λ．

則當(dāng)λ時(shí)，不等式eλx0恒成立．

故答案為.