（文科）設A、B分別是直線y=
2
5
5
x和y=-
2
5
5
x上的兩個動點，并且|
AB
|=
20
，滿足
OP
=
OA
+
OB
．（1）求動點P的軌跡C的方程；
（2）若點D的坐標為（0，16），M、N是曲線C上的兩個動點，且
DM
=λ
DN
（λ≠1），求實數(shù)λ的取值范圍．
分析：（1）設動點P（x，y），再由題意設出A、B的坐標，根據(jù)
OP
=
OA
+
OB
列出坐標之間的關系，再由|
AB
|=
20
和向量模的公式，列出關于x和y的關系式，化簡后得到所求的軌跡方程；
（2）設N（s，t），M（x，y），由
DM
=λ
DN
和D的坐標列出方程組，用s和t來表示x和y，再代入曲線方程消去s，求出t有關λ的表達式，再由|t|≤4求出λ的不等式．
解答：解：（1）設P（x，y），
由題可令A(x1，
2
5
5
x1)，B(x2，-
2
5
5
x2)，
∵
OP
=
OA
+
OB
，
∴
x=x1+x2
y=
2
5
5
(x1-x2).
即
x1+x2=x
x1-x2=
5
2
y.

又∵|
AB
|=
20
，
∴(x1-x2)2+
4
5
(x1+x2)2=20，即有
5
4
y2+
4
5
x2=20．
∴軌跡C的方程為
x2
25
+
y2
16
=1
（2）設N（s，t），M（x，y），
則由
DM
=λ
DN
可得，（x，y-16）=λ（s，t-16），故x=λs，y=16+λ（t-16），
∵N、M在曲線C上，
∴
s2
25
+
t2
16
=1
λ2s2
25
+
(λt-16λ+16)2
16
=1

消去s得，
λ2(16-t2)
16
+
(λt-16λ+16)2
16
=1．
∵λ≠0且λ≠1，
∴t=
17λ-15
2λ

又∵|t|≤4，
∴|
17λ-15
2λ
|≤4，解得
3
5
≤λ≤
5
3
（λ≠1）
故實數(shù)λ的取值范圍為
3
5
≤λ≤
5
3
（λ≠1）．
點評：本題主要考查了求軌跡方程和橢圓性質(zhì)的綜合應用．解題的前提是要求學生對基礎知識有相當熟練的把握．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知平面內(nèi)兩定點F1(0，-
5
)、F2(0，
5
)，動點P滿足條件：|
PF1
|-|
PF2
|=4，設點P的軌跡是曲線E，O為坐標原點．
（I）求曲線E的方程；
（II）若直線y=k（x+1）與曲線E相交于兩不同點Q、R，求
OQ
•
OR
的取值范圍；
（III）（文科做）設A、B兩點分別在直線y=±2x上，若
AP
=λ
PB
(λ∈[
1
2
，3])，記xA、xB分別為A、B兩點的橫坐標，求|xA•xB|的最小值．
（理科做）設A、B兩點分別在直線y=±2x上，若
AP
=λ
PB
(λ∈[
1
2
，3])，求△AOB面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2006•浦東新區(qū)一模）右面是某次測驗成績統(tǒng)計表中的部分數(shù)據(jù)．
學校 文科均分 理科均分
學校A 101.4 103.2
學校B 101.5 103.4
某甲說：B校文理平均分都比A校高，全體學生的平均分肯定比A校的高．
某乙說：兩個學校文理的平均分不一樣，全體學生的平均分可以相等．
某丙說：A校全體學生的均分可以比B校的高．
你同意他們的觀點嗎？我不同意
甲
甲
的觀點，請舉例
設x、y分別為A、B兩校文科學生所占比例，滿足y≥
18
19
x+
2
19
，即可以推翻甲的結論．比如：x=0.1，y=0.2，則兩校全體學生均分相等．
設x、y分別為A、B兩校文科學生所占比例，滿足y≥
18
19
x+
2
19
，即可以推翻甲的結論．比如：x=0.1，y=0.2，則兩校全體學生均分相等．
．

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科目：高中數(shù)學 來源：浙江省臨海市白云中學2009—2010學年度高二下學期第一次月考數(shù)學試題 題型：解答題

（理科10分）在△中，所對的邊分別為，滿足成等差數(shù)列，，求點的軌跡方程．
（文科10分）設0<a,b,c<1,求證：（1-a）b，（1-b）c，（1-c）a不同時大于．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知平面內(nèi)兩定點數(shù)學公式，動點P滿足條件：數(shù)學公式，設點P的軌跡是曲線E，O為坐標原點．
（I）求曲線E的方程；
（II）若直線y=k（x+1）與曲線E相交于兩不同點Q、R，求數(shù)學公式的取值范圍；
（III）（文科做）設A、B兩點分別在直線y=±2x上，若數(shù)學公式，記xA、xB分別為A、B兩點的橫坐標，求|xA•xB|的最小值．
（理科做）設A、B兩點分別在直線y=±2x上，若數(shù)學公式，求△AOB面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知平面內(nèi)兩定點F1(0，-
5
)、F2(0，
5
)，動點P滿足條件：|
PF1
|-|
PF2
|=4，設點P的軌跡是曲線E，O為坐標原點．
（I）求曲線E的方程；
（II）若直線y=k（x+1）與曲線E相交于兩不同點Q、R，求
OQ
•
OR
的取值范圍；
（III）（文科做）設A、B兩點分別在直線y=±2x上，若
AP
=λ
PB
(λ∈[
1
2
，3])，記xA、xB分別為A、B兩點的橫坐標，求|xA•xB|的最小值．
（理科做）設A、B兩點分別在直線y=±2x上，若
AP
=λ
PB
(λ∈[
1
2
，3])，求△AOB面積的最大值．

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