Question

在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為邊長為4的正方形，PA⊥平面ABCD，E為PB中點(diǎn)，PB=4

2

（Ⅰ）求證：PD∥面ACE；
（Ⅱ）求三棱錐D-AEC的體積．

Answer 1

分析：（I）連接BD，交AC于F，連接EF，證明EF∥PD，利用線面平行的判定定理，可證PD∥面ACE．
（II）取AB中點(diǎn)為G，連接EG，證明EG⊥平面ABCD，即可求三棱錐E-ABC的體積．

解答：解：（I）證明：連接BD，交AC于F，連接EF．
∵四邊形ABCD為正方形   
∴F為BD的中點(diǎn)
∵E為PB的中點(diǎn)，
∴EF∥PD
又∵PD?面 ACE，EF?面ACE，
∴PD∥平面ACE．
（Ⅱ）取AB中點(diǎn)為G，連接EG
∵E為PB的中點(diǎn)，
∴EG∥PA
∵PA⊥平面ABCD，
∴EG⊥平面ABCD，
即EG是三棱錐E-ADC的高，
在Rt△PAB中，PB=4

2

，AB=4，則PA=4，EG=2，
∴三棱錐D-AEC的體積為

1

3

×

1

2

×4×4×2=

16

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查線面平行的判定和證明，以及三棱錐的體積，要求熟練掌握線面平行的判定定理和錐體的體積公式．