Question

3．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若a²=3b²+3c²-2$\sqrt{3}$bcsinA，則C=$\frac{π}{6}$．

Answer 1

分析 利用余弦定理與不等式結(jié)合的思想求解a，b，c的關(guān)系．即可求解C的值．

解答 解：根據(jù)a²=3b²+3c²-2$\sqrt{3}$bcsinA…①
余弦定理a²=b²+c²-2bccosA…②
由①-②可得：2b²+2c²=2$\sqrt{3}$bcsinA-2bccosA
化簡(jiǎn)：b²+c²=$\sqrt{3}$bcsinA-bccosA
?b²+c²=2bcsin（A$-\frac{π}{6}$）
∵b²+c²≥2bc，
∴sin（A$-\frac{π}{6}$）=1
∴A=$\frac{2π}{3}$，
此時(shí)b²+c²=2bc，
故得b=c，即B=C，
∴C=$\frac{π-\frac{2π}{3}}{2}$=$\frac{π}{6}$．
故答案為：$\frac{π}{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了存在性思想，余弦定理與不等式結(jié)合的思想，界限的利用．屬于中檔題．