Question

p：“?x₀∈R，sinx₀+cosx₀-m=0”q：“?x∈R，x²+2x+m²＞0”若p∨q為真命題，p∧q為假命題，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：根據(jù)三角函數(shù)的值域求得命題p為真時(shí)m的取值范圍；利用△＜0求出命題q為真時(shí)m的范圍，由復(fù)合命題真值表得，若p∨q為真命題，p∧q為假命題，則命題p、q一真一假，由此可求m的范圍．

解答：解：∵m=sinx₀+cosx₀=

2

sin（x0+

π

4

），
∴-

2

≤m≤

2

．
∴命題p為真命題時(shí)，-

2

≤m≤

2

．
∵x²+2x+m²＞0，恒成立，
∴△=4-4m²＜0⇒m＞1或m＜-1，
∴命題q為真命題時(shí)，m＞1或m＜-1，
由復(fù)合命題真值表得，若p∨q為真命題，p∧q為假命題，則命題p、q一真一假，
當(dāng)p真q假時(shí)，則

- 2 ≤m≤ 2 -1≤m≤1

⇒-1≤m≤1；
當(dāng)真假時(shí)，則

m＞ 2 或m＜- 2 m＞1或m＜-1

⇒m＞

2

或m＜-

2

．
綜上m的取值范圍是（-∞，-

2

）∪[-1，1]∪（

2

，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題借助考查復(fù)合命題的真假判定，考查了三角函數(shù)的值域及一元二次不等式的恒成立問題，解題的關(guān)鍵是求出組成復(fù)合命題的簡單命題為真時(shí)的條件．