Question

△ABC的三個內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知b=3且角A，B，C依次成等差數(shù)列，
（Ⅰ）若邊a，b，c依次成等比數(shù)列，求△ABC的面積；
（Ⅱ）求△ABC周長的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列,解三角形

分析：（Ⅰ）先利用等差中項(xiàng)的定義求出B，利用邊a，b，c依次成等比數(shù)列，求出ac，再利用三角形面積公式求解；
（Ⅱ）先由正弦定理用角A、B表示出a、b，實(shí)現(xiàn)了邊向角的轉(zhuǎn)變，進(jìn)而轉(zhuǎn)化成三角函數(shù)求值域問題求解．

解答： 解：（Ⅰ）∵三內(nèi)角A、B、C的度數(shù)成等差數(shù)列，
∴2B=A+C，
∵A+B+C=180°，
∴B=60°，
∵a、b、c成等比數(shù)列，∴b²=ac，
∵b=3，
∴S=

1

2

acsinB=

9 3

4

；
（Ⅱ）根據(jù)正弦定理，可得△ABC周長y=a+3+c=2

3

sinA+2

3

sinC+3=6sin（B+30°）+3，
∵0＜B＜120°，
∴

1

2

＜sin（B+30°）≤1，
∴6＜6sin（B+30°）+3≤9，
∴△ABC周長的取值范圍為（6，9]．

點(diǎn)評：本題綜合考查了數(shù)列和三角函數(shù)以及解三角形的有關(guān)知識，考查了學(xué)生的分析能力和運(yùn)算能力．