Question

如圖,矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE//CF，BCF=CEF=,AD=,EF=2．

（Ⅰ）求證：AE//平面DCF；

（Ⅱ）當(dāng)AB的長(zhǎng)為何值時(shí),二面角A-EF-C的大小為．

 

Answer 1

【答案】

（1）見(jiàn)解析；（2）.

【解析】由于理科有空間向量的知識(shí)，在解決立體幾何試題時(shí)就有兩套根據(jù)可以使用，這為考生選擇解題方案提供了方便，但使用空間向量的方法解決立體幾何問(wèn)題也有其相對(duì)的缺陷，那就是空間向量的運(yùn)算問(wèn)題，空間向量有三個(gè)分坐標(biāo)，在進(jìn)行運(yùn)算時(shí)極易出現(xiàn)錯(cuò)誤，而且空間向量方法證明平行和垂直問(wèn)題的優(yōu)勢(shì)并不明顯，所以在復(fù)習(xí)立體幾何時(shí)，不要純粹以空間向量為解題的工具，要注意綜合幾何法的應(yīng)用。（1）只要過(guò)點(diǎn)作的平行線即可；（2）由于點(diǎn)是點(diǎn)在平面內(nèi)的射影，只要過(guò)點(diǎn)作的垂線即可很容易地作出二面角的平面角，剩下的就是具體的計(jì)算問(wèn)題。或者建立空間直角坐標(biāo)系，使用法向量的方法求解。

方法一：（Ⅰ）證明：過(guò)點(diǎn)作交于，連結(jié)，

可得四邊形為矩形，又為矩形，所以，從而四邊形為平行四邊形，故．因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012061921294284457513/SYS201206192131148133691812_DA.files/image019.png">平面，平面，

所以平面．………6分

（Ⅱ）解：過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于，連結(jié)．

由平面平面，，得平面，

從而．所以為二面角的平面角．

在中，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012061921294284457513/SYS201206192131148133691812_DA.files/image033.png">，，

所以，．又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012061921294284457513/SYS201206192131148133691812_DA.files/image037.png">，所以，

從而，于是，

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012061921294284457513/SYS201206192131148133691812_DA.files/image041.png">所以當(dāng)為時(shí)，

二面角的大小為………12分

方法二：如圖，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以和分別作為軸，軸和軸，建立空間直角坐標(biāo)系．設(shè)，

則，，，，．

（Ⅰ）證明：，，，

所以，，從而，，

所以平面．因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012061921294284457513/SYS201206192131148133691812_DA.files/image065.png">平面，所以平面平面．

故平面．………6分

（Ⅱ）解：因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012061921294284457513/SYS201206192131148133691812_DA.files/image068.png">，，所以，，從而

解得．所以，．設(shè)與平面垂直，

則，，解得．又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012061921294284457513/SYS201206192131148133691812_DA.files/image081.png">平面，，所以，

得到．所以當(dāng)為時(shí)，二面角的大小為．………12分