Question

如圖,矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE//CF，BCF=CEF=,AD=,EF=2。

（Ⅰ）求證：AE//平面DCF；

（Ⅱ）當AB的長為何值時,二面角A-EF-C的大小為？

Answer 1

本題主要考查空間線面關系、空間向量的概念與運算等基礎知識，同時考查空間想象能力和推理運算能力．

方法一：

（Ⅰ）證明：過點作交于，連結，

可得四邊形為矩形，

又為矩形，

所以，從而四邊形為平行四邊形，

故．

因為平面，平面，

所以平面．

（Ⅱ）解：過點作交的延長線于，連結．

由平面平面，，得

平面，

從而．

所以為二面角的平面角．

在中，因為，，所以，．

又因為，所以，

從而．

于是．

因為，

所以當為時，二面角的大小為．

方法二：如圖，以點為坐標原點，以和分別作為軸，軸和軸，建立空間直角坐標系．

設，

則，，，，．

（Ⅰ）證明：，，，

所以平面．

因為平面，

所以平面平面．

故平面．

（Ⅱ）解：因為，，

所以，，從而

解得．

所以，．

設與平面垂直，

則，

解得．

又因為平面，，

所以，

得到．

所以當為時，二面角的大小為．