Question

15．已知函數(shù)g（ x）=e ^x+$\frac{a}{2}$x²，其中a∈R，e=2.71828…為自然對(duì)數(shù)的 底數(shù)，f （ x）是 g（ x）的導(dǎo)函數(shù)．
（Ⅰ）求 f（ x） 的極值；
（Ⅱ）若a=-1，證明：當(dāng) x₁≠x₂，且f （ x₁ ）=f （ x₂） 時(shí)，x₁+x₂＜0．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值即可；
（Ⅱ）求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，設(shè)函數(shù)F（x）=f（x）-f（-x），求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=e^x+ax的定義域?yàn)椋?∞，+∞），f′（x）=e^x+a，
當(dāng)a≥0時(shí)，f′（x）＞0在x∈（-∞，+∞）時(shí)成立，
∴f（x）在（-∞，+∞）上單調(diào)遞增，f（x）無(wú)極值；
當(dāng)a＜0時(shí)，f′（x）=e^x+a=0解得x=ln（-a），
∴f（x）在（-∞，ln（-a））上單調(diào)遞減，f（x）在（ln（-a），+∞）上單調(diào)遞增，
f（x）有極小值$aln（{-a}）-a=aln（{\frac{-a}{e}}）$．
（Ⅱ）證明：當(dāng)a=-1時(shí)，f（x）=e^x-x的定義域?yàn)椋?∞，+∞），f′（x）=e^x-1，
由f′（x）=e^x-1=0，解得x=0．當(dāng)x變化時(shí)，f′（x），f（x）變化情況如下表：

x	（-∞，0）	0	（0，+∞）
f′（x）	-	0	+
f（x）	單調(diào)遞減	極小值	單調(diào)遞增

∵x₁≠x₂，且f（x₁）=f（x₂），則x₁＜0＜x₂（不妨設(shè)x₁＜x₂）
設(shè)函數(shù)$F（x）=f（x）-f（-x）={e^x}-x-（{e^{-x}}+x）={e^x}-\frac{1}{e^x}-2x，x＜0$，
∴${F^'}（x）={e^x}+\frac{1}{e^x}-2$．∵當(dāng)x＜0時(shí)，0＜e^x＜1，∴${e^x}+\frac{1}{e^x}＞2$，
∴當(dāng)x＜0時(shí)，F(xiàn)′（x）＞0．∴函數(shù)F（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞增，
∴F（x）＜F（0）=0，即當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）＜f（-x），
∵x₁＜0，∴f（x₁）＜f（-x₁），
又f（x₁）=f（x₂），∴f（x₂）＜f（-x₁），
∵f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，0＜x₂，且0＜-x₁，
又f（x₂）＜f（-x₁），∴x₂＜-x₁，
∴x₁+x₂＜0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．