Question

17．在△ABC中，O是BC的中點(diǎn)，求證：AB²+AC²=2（BO²+AO²）

Answer 1

分析 由題意畫出圖形，把AB²+AC²轉(zhuǎn)化為向量模的平方，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為向量的平方，結(jié)合向量的加法運(yùn)算展開后得答案．

解答 證明：如圖，

∵O是BC的中點(diǎn)，∴|$\overrightarrow{BO}$|=|$\overrightarrow{OC}$|，
則AB²+AC²=$|\overrightarrow{AB}{|}^{2}+|\overrightarrow{AC}{|}^{2}$=$（\overrightarrow{AB}）^{2}+（\overrightarrow{AC}）^{2}$
=$（\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OB}）^{2}+（\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OC}）^{2}$=$|\overrightarrow{AO}{|}^{2}+2\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{OB}+|\overrightarrow{OB}{|}^{2}$$+|\overrightarrow{AO}{|}^{2}+2\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{OC}+|\overrightarrow{OC}{|}^{2}$
=$2（|\overrightarrow{AO}{|}^{2}+|\overrightarrow{OB}{|}^{2}）$$+2|\overrightarrow{AO}|•|\overrightarrow{OB}|cos∠AOB+2|\overrightarrow{AO}|•|\overrightarrow{OC}|cos∠AOC$
=$2（|\overrightarrow{AO}{|}^{2}+|\overrightarrow{OB}{|}^{2}）$=2（BO²+AO²）．

點(diǎn)評 本題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，關(guān)鍵是用到$|\overrightarrow{a}{|}^{2}=（\overrightarrow{a}）^{2}$，是中檔題．