Question

20．已知$α∈（{0，\frac{π}{2}}）$，且$f（a）=cosα•\sqrt{\frac{1-sinα}{1+sinα}}+sinα•\sqrt{\frac{1-cosα}{1+cosα}}$．
（1）化簡f（a）；  
（2）若$f（a）=\frac{3}{5}$，求$\frac{sinα}{1+cosα}+\frac{cosα}{1+sinα}$的值．

Answer 1

分析 （1）由已知可得sinα∈（0，1），cosα∈（0，1），利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式化簡化簡得解．
（2）由已知可求sinα+cosα=$\frac{7}{5}$，兩邊平方可得sinαcosα=$\frac{12}{25}$，將所求通分后化簡即可計算得解．

解答 解：（1）∵$α∈（{0，\frac{π}{2}}）$，
∴sinα∈（0，1），cosα∈（0，1），
∴$f（a）=cosα•\sqrt{\frac{1-sinα}{1+sinα}}+sinα•\sqrt{\frac{1-cosα}{1+cosα}}$=cosα•$\sqrt{\frac{（1-sinα）^{2}}{1-si{n}^{2}α}}$+sinα•$\sqrt{\frac{（1-cosα）^{2}}{1-co{s}^{2}α}}$=1-sinα+1-cosα=2-sinα-cosα．
（2）∵$f（a）=\frac{3}{5}$=2-sinα-cosα，
∴sinα+cosα=$\frac{7}{5}$，
∴兩邊平方可得：1+2sinαcosα=$\frac{49}{25}$，解得：sinαcosα=$\frac{12}{25}$，
∴$\frac{sinα}{1+cosα}+\frac{cosα}{1+sinα}$=$\frac{sinα（1+sinα）+cosα（1+cosα）}{（1+cosα）（1+sinα）}$=$\frac{1+sinα+cosα}{1+sinα+cosα+sinαcosα}$=$\frac{1+\frac{7}{5}}{1+\frac{7}{5}+\frac{12}{25}}$=$\frac{5}{6}$．

點評 本題主要考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系式在三角函數(shù)化簡求值中的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．