設(shè)數(shù)列{an}(n＝1，2…)是等差數(shù)列，且公差為d，若數(shù)列{an}中任意(不同)兩項之和仍是該數(shù)列中的一項，則稱該數(shù)列是“封閉數(shù)列”．

(1)若a1＝4，d＝2，判斷該數(shù)列是否為“封閉數(shù)列”，并說明理由？

(2)設(shè)Sn是數(shù)列{an}的前n項和，若公差d＝1，a1＞0，試問：是否存在這樣的“封閉數(shù)列”，使；若存在，求{an}的通項公式，若不存在，說明理由；

(3)試問：數(shù)列{an}為“封閉數(shù)列”的充要條件是什么？給出你的結(jié)論并加以證明．

答案：
解析：

　　(1)數(shù)列是“封閉數(shù)列”，因為：，1分

　　對任意的，有

　　，3分

　　∵m＋n＋1∈N*于是，令，則有　4分

　　(2)解：由是“封閉數(shù)列”，得：對任意，必存在使

　　成立，5分

　　于是有為整數(shù)，又是正整數(shù)．6分

　　若則，所以，7分

　　若，則，所以，8分

　　　若，則，于是

　　，所以，9分

　　綜上所述，，顯然，該數(shù)列是“封閉數(shù)列”．10分

　　(3)結(jié)論：數(shù)列為“封閉數(shù)列”的充要條件是存在整數(shù)，使．12分

　　證明：(必要性)任取等差數(shù)列的兩項，若存在使，則

　　

　　故存在，使，14分

　　下面證明．當(dāng)時，顯然成立．

　　對，若，則取，對不同的兩項，存在使，

　　即，這與矛盾，

　　故存在整數(shù)，使．16分

　　(充分性)若存在整數(shù)使，則任取等差數(shù)列的兩項，于是

　　

　　由于為正整數(shù)，證畢．18分


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已知點P在曲線上，曲線C在點P的切線與函數(shù)y＝kx(k＞0)的圖像交于點A，與x軸交于點B，設(shè)點P的橫坐標(biāo)為t，設(shè)A、B的橫坐標(biāo)分別為xA、xB，記f(t)＝xA·xB．

(1)求f(t)的解析式；

(2)設(shè)數(shù)列{an}(n≥1，n∈N)滿足a1＝1，an＝f()(n≥2)，求數(shù)列{an}的通項公式；

(3)在(2)的條件下，當(dāng)1＜k＜3時，證明不等式：a1＋a2＋a3…an＞．

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設(shè)數(shù)列{an}(n∈N*)滿足an+2＝2an+1－an，Sn是其前n項的和，且S5＜S6，S6＝S7＞S8，則下列結(jié)論錯誤的是

[　　]
A．

an+1－an＜0

B．

a7＝0

C．

S9＞S5

D．

S6與S7均為Sn的最大值

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設(shè)數(shù)列{an}(n＝1，2，…)是等差數(shù)列，且公差為d，若數(shù)列{an}中任意(不同)兩項之和仍是該數(shù)列中的一項，則稱該數(shù)列是“封閉數(shù)列”．

(1)若a1＝4，d＝2，求證：該數(shù)列是“封閉數(shù)列”；

(2)試判斷數(shù)列an＝2n－7(n∈N*)是否是“封閉數(shù)列”，為什么？

(3)設(shè)Sn是數(shù)列{an}的前n項和，若公差d＝1，a1＞0，試問：是否存在這樣的“封閉數(shù)列”，使；若存在，求{an}的通項公式，若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)數(shù)列{an}(n＝1,2，…)是等差數(shù)列，且公差為d，若數(shù)列{an}中任意(不同)兩項之和仍是該數(shù)列中的一項，則稱該數(shù)列是“封閉數(shù)列”.

(1)若a1＝4，d＝2，求證：該數(shù)列是“封閉數(shù)列”.

(2)若an＝2n－7(n∈N＋)，試判斷數(shù)列{an}是否是“封閉數(shù)列”，為什么？

(3)設(shè)Sn是數(shù)列{an}的前n項和，若公差d＝1，a1＞0，試問：是否存在這樣的“封閉數(shù)列”，使＜＋＋…＋＜.若存在，求{an}的通項公式；若不存在，說明理由.

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