Question

已知函數(shù)f（x）=lnx-mx（m∈R）．
（1）若曲線y=f（x）過點(diǎn)P（1，-1），求曲線y=f（x）在點(diǎn)P的切線方程；
（2）若f（x）≤0恒成立求m的取值范圍；
（3）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，e]上最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：計(jì)算題,壓軸題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）由f（x）過點(diǎn)P（1，-1）可得-1=ln1-m，從而解出m=1，進(jìn)而求曲線y=f（x）在點(diǎn)P的切線方程；
（2）原式可化為lnx-mx≤0恒成立，結(jié)合x＞0可化為m≥

lnx

x

恒成立，從而化為求g(x)=

lnx

x

的最大值，利用導(dǎo)數(shù)求最值；
（3）由f′(x)=

1

x

-m=

1-mx

x

討論，m的取值，以確定函數(shù)函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，e]上的單調(diào)性，從而求函數(shù)在區(qū)間[1，e]上的最大值．

解答： 解：（1）∵f（x）過點(diǎn)P（1，-1），
∴-1=ln1-m，∴m=1，
∴f（x）=lnx-x，
f′(x)=

1

x

-1，
f'（1）=0，
∴過點(diǎn)P（1，-1）的切線方程為y=-1．
（2）∵f（x）≤0恒成立，
即lnx-mx≤0恒成立，
∴mx≥lnx，
又∵f（x）定義域?yàn)椋?，+∞），
∴m≥

lnx

x

恒成立；
設(shè)g(x)=

lnx

x

，
∵g′(x)=

1-lnx

x2

，
∴當(dāng)x=e時(shí)，g'（e）=0
當(dāng)0＜x＜e時(shí)，g'（x）＞0，g（x）為單調(diào)增函數(shù)，
當(dāng)x＞e時(shí)，g'（x）＜0，g（x）為單調(diào)減函數(shù)，
∴g(x)max=g(e)=

1

e

，
∴當(dāng)m≥

1

e

時(shí)，f（x）≤0恒成立．
（3）∵f′(x)=

1

x

-m=

1-mx

x

，
①當(dāng)m≤0時(shí)，f'（x）＞0，
∴f（x）在（0，+∞）為單增函數(shù)，
∵在x∈[1，e]上，f（x）_max=f（e）=1-me；
②當(dāng)

1

e

≤m≤1，即1≤

1

m

≤e時(shí)，
當(dāng)x∈(0，

1

m

)時(shí)，f'（x）＞0，f（x）為單增函數(shù)，
當(dāng)x∈(

1

m

，+∞)時(shí)，f'（x）＜0，f（x）為單減函數(shù)，
∴x∈[1，e]上，f(x)max=f(

1

m

)=-lnm-1；
③當(dāng)m＞1時(shí)，即0＜

1

m

＜1，f(x)在(

1

m

，+∞)為單減函數(shù)，
∴x∈[1，e]上，f（x）_max=f（1）=-m；
④當(dāng)0＜m＜

1

e

，即

1

m

＞e時(shí)，
f（x）在(0，

1

m

)為單增函數(shù)，
∴x∈[1，e]時(shí)，f（x）_max=f（e）=1-me；
綜上所述，
當(dāng)m＜

1

e

時(shí)，f（x）_max=f（e）=1-me，
當(dāng)

1

e

≤m≤1時(shí)，f(x)max=f(

1

m

)=-lnm-1
當(dāng)m＞1時(shí)，f（x）_max=f（1）=-m．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，恒成立問題一般要轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，本題求閉區(qū)間上的最值問題時(shí)用到了分類討論的數(shù)學(xué)思想，是本題的難點(diǎn)，要注意選擇恰當(dāng)?shù)臉?biāo)準(zhǔn)分類，屬于難題．