Question

11．如圖，一個圓心角為直角的扇形AOB 花草房，半徑為1，點P 是花草房弧上一個動點，不含端點，現(xiàn)打算在扇形BOP 內(nèi)種花，PQ⊥OA，垂足為Q，PQ 將扇形AOP
分成左右兩部分，在PQ 左側(cè)部分三角形POQ 為觀賞區(qū)，在PQ 右側(cè)部分種草，已知種花的單位面積的造價為3a，種草的單位面積的造價為2a，其中a 為正常數(shù)，設(shè)∠AOP=θ，種花的造價與種草的造價的和稱為總造價，不計觀賞區(qū)的造價，設(shè)總造價為f（θ）
（1）求f（θ）關(guān)于θ 的函數(shù)關(guān)系式；
（2）求當(dāng)θ 為何值時，總造價最小，并求出最小值．

Answer 1

分析 （1）分別求出種花區(qū)的造價，種草區(qū)的造價，即可得到f（θ）關(guān)于θ 的函數(shù)關(guān)系式，
（2）先求導(dǎo)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的最值得關(guān)系即可求出答案．

解答 解：（1）種花區(qū)的造價為$\frac{3a}{2}（{\frac{π}{2}-θ}）$，種草區(qū)的造價為$（{\frac{θ}{2}-\frac{1}{2}sinθcosθ}）2a$，
 故總造價f（θ）=$\frac{3θ}{2}$（$\frac{π}{2}$-θ）+（$\frac{θ}{2}$-$\frac{1}{2}$sinθcosθ）2α=（$\frac{3π}{4}$-$\frac{θ}{2}$-sinθcosθ）α，0＜θ＜$\frac{π}{2}$
（2）$f'（θ）=（{-\frac{1}{2}-cosθcosθ+sinθsinθ}）a=（{\frac{1}{2}-2{{cos}^2}θ}）a=2a（\frac{1}{4}-{cos^2}θ）$=$2a（{\frac{1}{2}+cosθ}）（{\frac{1}{2}-cosθ}）（{0＜θ＜\frac{π}{2}}）$
令f'（θ）=0，得到$θ=\frac{π}{3}$

θ	$（{0，\frac{π}{3}}）$	$\frac{π}{3}$	$（{\frac{π}{3}，\frac{π}{2}}）$
f'（θ）	_	0	+
f（θ）	遞減	極小值	遞增

故當(dāng)$θ=\frac{π}{3}$ 時，總造價最小，且總造價最小為$（{\frac{7}{12}π-\frac{{\sqrt{3}}}{4}}）a$

點評 本題主要考查了三角函數(shù)的模型的應(yīng)用以及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查了考生分析問題和解決問題的能力．