Question

20．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一條漸近線方程為2x+y=0，一個焦點為（$\sqrt{5}$，0），則雙曲線的離心率為$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，結(jié)合雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程分析可得$\frac{a}$=2，即b=2a，又由其焦點的坐標(biāo)可得c²=b²+a²=5，聯(lián)立解可得a、b的值，進(jìn)而可得c的值，由離心率計算公式計算可得答案．

解答 解：根據(jù)題意，雙曲線的方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，其焦點在x軸上，
則其漸近線方程為y=±$\frac{a}$x，
又由該雙曲線的一條漸近線方程為2x+y=0，
則有$\frac{a}$=2，即b=2a，
又由其一個焦點為（$\sqrt{5}$，0），則有c²=b²+a²=5，
解可得a=1，b=2；
故c=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$=$\sqrt{5}$；
則其離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{5}$；
故答案為：$\sqrt{5}$．

點評 本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)，關(guān)鍵是利用待定系數(shù)法求出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．