Question

4．已知函數(shù)f（x）=$\frac{lna-lnx}{x}$在[1，+∞）上為增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． 0＜a≤$\frac{1}{e}$
• B． a$≥\frac{1}{e}$
• C． $\frac{1}{{e}^{2}}$＜a≤$\frac{1}{e}$
• D． a≥$\frac{1}{{e}^{2}}$

Answer 1

分析 先求導(dǎo)，由函數(shù)f（x）在[1，+∞]上為增函數(shù)，轉(zhuǎn)化為f′（x）≥0在[1，+∞]上恒成立問題求解．

解答 解：f′（x）=$\frac{-1-lna+lnx}{{x}^{2}}$，
由f'（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，
即-1-lna+lnx≥0在[1，+∞）上恒成立，
∴l(xiāng)nx≥lnea在[1，+∞）上恒成立，
∴l(xiāng)nea≤0，即ea≤1，
∴a≤$\frac{1}{e}$，
∵a＞0，
∴0$＜a≤\frac{1}{e}$
故選：A

點(diǎn)評 本題主要考查用導(dǎo)數(shù)法研究函數(shù)單調(diào)性問題，基本思路是lnx≥lnea在[1，+∞）上恒成立，轉(zhuǎn)化為最值問題求解．