Question

已知冪函數(shù)f（x）=x^a，一次函數(shù)g（x）=2x+b，且知函數(shù)f（x）•g（x）的圖象過（1，2），函數(shù)

f(x)

g(x)

的圖象過(

2

，1)，若函數(shù)h（x）=f（x）+g（x），求函數(shù)h（x）的解析式并判斷函數(shù)h（x）的奇偶性．

Answer 1

分析：利用函數(shù)f（x）•g（x）的圖象過（1，2），即f（1）g（1）=2，即可解得b值，利用函數(shù)

f(x)

g(x)

的圖象過(

2

，1)，即

f( 2 )

g( 2 )

=1，即可解得a值，從而確定函數(shù)f（x）、g（x）的解析式，進(jìn)而有了h（x）的解析式，最后利用函數(shù)奇偶性的定義證明函數(shù)的奇偶性即可

解答：解：∵函數(shù)f（x）•g（x）=x^a（2x+b）過點(diǎn)（1，2），
∴1^a×（2×1+b）=2，得b=0，
又∵函數(shù)

f(x)

g(x)

=

xa

2x+b

=

1

2

xa-1的圖象過(

2

，1)，
∴

1

2

•(

2

)a-1=1，即(

2

)a-1=(

2

)2，得a=3，
∴f（x）=x³，g（x）=2x
∴h（x）=f（x）+g（x）=x³+2x
又∵函數(shù)h（x）的定義域?yàn)閤∈R，且h（-x）=（-x）³+2（-x）=-（x³+2x）=-h（x），
∴h（x）為奇函數(shù)

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)圖象與函數(shù)解析式間的關(guān)系，函數(shù)奇偶性的定義，函數(shù)奇偶性的判斷方法，屬基礎(chǔ)題