Question

已知函數(shù)f（x）=x²-2x+3在[a，a+2]上的最大值為6，求實(shí)數(shù)a的值．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：通過解方程找出對應(yīng)的自變量的取值，再根據(jù)兩端點(diǎn)到對稱軸的距離進(jìn)行判斷，從而得解，結(jié)合函數(shù)圖象使問題一目了然．

解答： 解；∵f′（x）=2x-2，令2x-2=0，解得：x=1，
∴定義域被分成（-∞，1）和[1，+∞）兩部分；
①若a+2≤1，即a≤-1時，f（x）=x²-2x+3在[a，a+2]上單調(diào)遞減，
∴f（x）_max=f（a）=a²-2a+3=6，
解得a=-1或a=3（舍）；
②當(dāng)-1＜a＜0時，f（x）=x²-2x+3在[a，1]上單調(diào)遞減，
∴f（x）_max=f（a）=a²-2a+3=6，解得a=-1（舍）或a=3（舍）；
∵-1＜a＜0，∴1＜a+2＜2，f（x）=x²-2x+3在[1，a+2]上單調(diào)遞增，
∴f（x）_max=f（a+2）=（a+2）²-2（a+2）+3=6，
解得a=1（舍）或a=-3（舍）
③當(dāng)a=0時，f（x）=x²-2x+3在[0，2]上，f（0）=f（2）最大，最大值為3，不合題意；
④當(dāng)0＜a＜1時，f（x）=x²-2x+3在[a，1]上單調(diào)遞減，
∴f（x）_max=f（a）=a²-2a+3=6，解得a=-1（舍）或a=3（舍）；
∵0＜a＜1，∴2＜a+2＜3，f（x）=x²-2x+3在[1，a+2]上單調(diào)遞增，
∴f（x）_max=f（a+2）=（a+2）²-2（a+2）+3=6，
解得a=1（舍）或a=-3（舍）
⑤當(dāng)a≥1時，f（x）=x²-2x+3在[a，a+2]上單調(diào)遞增，
∴f（x）_max=f（a+2）=（a+2）²-2（a+2）+3=6，
解得a=1或a=-3（舍）
綜上所述，a=1或a=-1．

點(diǎn)評：本題是求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題，是一道基礎(chǔ)題，解題時注意數(shù)形結(jié)合．